[선형대수] Rank

Rank는 행렬에서 선형 독립인 행 또는 열의 최대 개수를 의미한다. 즉, 열 벡터로 이루어진 행렬 $A$의 Rank는 열 벡터들이 span하는 공간의 최대 차원을 나타낸다.

예를 들어, 3차원 공간 상의 3개의 벡터가 2차원 평면을 span할 경우, 이 벡터들로 이루어진 행렬 $A$의 Rank는 2가 된다.

가우스 소거법을 적용 후 변환된 REF 형태의 행렬에서, 0이 아닌 행 또는 열의 개수가 Rank이다.

Example: 행렬의 Rank 구하기

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&6&9\end{bmatrix}\]

1. 가우스 소거법 적용

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}\]

2. 0이 아닌 행 또는 열의 개수 세기

0이 아닌 행이 2개이므로, $\text{rank}(A)=2$ 이다.

즉, 3개의 열벡터들이 span하는 공간 $V$의 차원은 2차원 평면이다.

Rank의 성질

1. $\text{rank}(A)=\text{rank}(A^T)$
2. $\text{rank}(AB)\leq\min\left(\text{rank}(A),\text{rank}(B)\right)$
3. $\text{rank}(A+B)\leq\text{rank}(A)+\text{rank}(B)$
4. $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$에 대해 $\text{rank}(A)=\min(m,n)$의 경우 $A$를 Full Rank라고 하며, $\text{rank}(A)<\min(m,n)$의 경우 $A$를 Rank-Deficient라고 한다.

5. 정방 행렬 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$에 대해 $\text{rank}(A)=n$일 경우, $A$는 역행렬이 존재한다.

   변환 후 차원이 줄어들지 않기 때문에 역변환이 가능하다.

6. $\text{rank}(A)=\text{rank}(A\mid \mathbf{b})$인 경우에만, $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$의 해를 구할 수 있다.

Example: 6번 성질 예제 확인

\[\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1+x_2=4\end{cases}\]

위의 연립 방정식에 대한 첨가 행렬은 아래와 같이 구성할 수 있다.

\[[A\mid \mathbf{b}]=\begin{bmatrix}\begin{array}{cc|c}1&1&2\\1&1&4\end{array}\end{bmatrix}\]

$\text{rank}(A)=1$이지만 $\text{rank}(A\mid \mathbf{b})=2$인 경우로, $\text{rank}(A)<\text{rank}(A\mid \mathbf{b})$이다.

실제 가우스 소거법을 적용해보면 해가 존재하지 않는 것을 확인할 수 있다.

\[[A\mid \mathbf{b}]=\begin{bmatrix}\begin{array}{cc|c}1&1&2\\0&0&2\end{array}\end{bmatrix}\]