행렬의 기본 연산

행렬 덧셈

두 행렬 $A$, $B$의 덧셈은 다음과 같다.

\[A+B=C \tag{1}\]

행렬의 덧셈은 같은 위치의 성분끼리 더하면 된다.

\[\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}6&8\\10&12\end{bmatrix}\]

이때, 더하는 두 행렬의 크기는 반드시 동일해야 한다.
즉, $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$와 $B\in\mathbb{R}^{m\times n}$를 더해 얻은 행렬의 크기도 $C\in\mathbb{R}^{m\times n}$가 된다.

행렬곱 (Matrix Multiplication)

두 행렬 $A$, $B$의 곱은 다음과 같다.

\[AB=C \tag{2}\]

행렬곱이 정의되기 위해서는 반드시 앞 행렬의 열 개수와 뒤 행렬의 행 개수가 같아야 한다.
즉, $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$와 $B\in\mathbb{R}^{n\times k}$를 곱해 얻은 행렬의 크기는 $C\in\mathbb{R}^{m\times k}$가 된다.

행렬곱은 여러 관점에서 해석할 수 있다.
여기서는 행렬곱 $C=AB$를 이해하는 대표적인 3가지 관점을 살펴볼 것이다.

1. 내적 관점

행렬곱의 가장 기본적인 계산 방식은 행벡터와 열벡터의 내적이다.

$C$의 $(i,j)$번째 원소 $c_{ij}$는 $A$의 $i$번째 행벡터와 $B$의 $j$번째 열벡터의 내적으로 계산된다.

\[c_{ij}=\va_{i}\cdot\vb_{j}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj} \tag{3}\]

Example: 1번 관점으로 행렬곱 수행

\[A=\begin{bmatrix}2&3&1\\4&2&0\end{bmatrix}~,~B=\begin{bmatrix}3&2\\1&0\\4&3\end{bmatrix}\]

• $c_{11}=\va_1\cdot\vb_1~\rightarrow~13=2\cdot3+3\cdot1+1\cdot4$
• $c_{12}=\va_1\cdot\vb_2~\rightarrow~10=2\cdot2+3\cdot0+1\cdot6$
• $c_{21}=\va_2\cdot\vb_1~\rightarrow~14=4\cdot3+2\cdot1+0\cdot4$
• $c_{22}=\va_2\cdot\vb_2~\rightarrow~8=4\cdot2+2\cdot0+0\cdot6$

\[C=\begin{bmatrix}13&10\\14&8\end{bmatrix}\]

2. 앞 행렬의 열벡터들의 선형 결합 관점

행렬곱을 $A$의 열벡터들의 선형결합으로 바라볼 수 있다.

그러면 $C$의 $j$번째 열벡터 $\vc_j$는 $A$의 열벡터들을 선형 결합하여 계산된다.

\[\vc_j=A\vb_j=\sum_{k=1}^nb_{kj}\va_k \tag{4}\]

• $\va_k$: $A$의 $k$번째 열벡터
• $b_{kj}$: $B$의 $j$번째 열벡터 $\vb_j$​의 $k$번째 성분

Example: 2번 관점으로 행렬곱 수행

\[A=\begin{bmatrix}2&3&1\\4&2&0\end{bmatrix}~,~B=\begin{bmatrix}3&2\\1&0\\4&3\end{bmatrix}\]

$A$와 $C$를 열벡터로 표현

\[A=\begin{bmatrix}|&|&|\\\va_1&\va_2&\va_3\\|&|&|\end{bmatrix}~,~C=\begin{bmatrix}|&|\\\vc_1&\vc_2\\|&|\end{bmatrix}\]

1. $C$의 첫 번째 열 벡터

\[\vc_1=3\cdot \va_1+1\cdot \va_2+4\cdot \va_3=\begin{bmatrix}13\\14\end{bmatrix}\]

1. $C$의 두 번째 열 벡터

\[\vc_2=2\cdot \va_1+0\cdot \va_2+3\cdot \va_3=\begin{bmatrix}10\\8\end{bmatrix}\]

3. 뒤 행렬 행벡터들의 선형 결합

행렬곱을 $B$의 행벡터들의 선형결합으로 바라볼 수 있다.

그러면 $C$의 $i$번째 행벡터 $\vc_i$는 $B$의 행벡터들을 선형 결합하여 계산된다.

\[\vc_i=\va_iB=\sum_{k=1}^na_{ik}\vb_k \tag{5}\]

• $a_{ik}$: $A$의 $i$번째 행벡터의 $k$번째 성분
• $\vb_k$: $B$의 $k$번째 행벡터

Example: 3번 관점으로 행렬곱 수행

\[A=\begin{bmatrix}2&3&1\\4&2&0\end{bmatrix}~,~B=\begin{bmatrix}3&2\\1&0\\4&3\end{bmatrix}\]

$B$와 $C$를 행 벡터로 표현

\[B=\begin{bmatrix}-\vb_1-\\-\vb_2-\\-\vb_3-\end{bmatrix}~,~C=\begin{bmatrix}-\vc_1-\\-\vc_2-\end{bmatrix}\]

1. $C$의 첫 번째 행 벡터

\[\vc_1=\begin{bmatrix}13&10\end{bmatrix}=2\cdot \vb_1+3\cdot \vb_2+1\cdot \vb_3\]

1. $C$의 두 번째 행 벡터

\[\vc_2=\begin{bmatrix}14&8\end{bmatrix}=4\cdot \vb_1+2\cdot \vb_2+0\cdot \vb_3\]

전치 (Transpose)

행렬의 열과 행을 바꾸는 연산을 의미한다.

전치의 성질

• $(A^\top)^\top=A$
• $(A+B)^\top=A^\top+B^\top$
• $(AB)^\top=B^\top A^\top$
• $(A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top=A^{-\top}$