[논리학] 명제 논리 (Proposition Logic, PL)

명제 논리란?

명제 논리는 명제들을 기호로 다루며 추론하는 논리 체계를 의미한다.

여기서 명제는 참인지 거짓인지를 판별할 수 있는 문장이나 식을 의미한다.

아래의 문장들은 명제이다.

• “서울은 대한민국의 수도이다.” → 참
• “$2 + 3 = 10$” → 거짓

아래의 문장들은 명제가 아니다.

• “수학은 재미있다.” (주관적 판단임)
• “철수는 키가 크다.” (기준이 불분명함)

조건명제 (Conditional Proposition)

조건명제는 두 명제 $P$와 $Q$가 있을 때, 아래의 형태로 연결된 명제를 의미한다.

\[P\rightarrow Q\]

여기서 $P$는 가정이나 조건을 나타내는 전건(Antecedent)이라 하고, $Q$는 결론을 나타내는 후건(Consequent)이라 한다.

원명제 $P\rightarrow Q$로부터 파생되는 3가지 명제가 있다.

명칭	기호	의미
역 (Converse)	$Q\rightarrow P$	가정과 결론을 바꿈
이 (Inverse)	$\lnot P\rightarrow \lnot Q$	가정과 결론을 각각 부정함
대우 (Contrapositive)	$\lnot Q\rightarrow \lnot P$	가정과 결론을 바꾸고 각각 부정함

원명제와 대우는 항상 진리값이 같다. 따라서 명제를 직접 증명하기 어려울 때 대우를 사용해서 증명한다.

충분조건과 필요조건

명제 $P\rightarrow Q$가 참일 때, 두 명제 $P$와 $Q$의 관계를 아래와 같이 부른다.
이때, 둘은 $P\subset Q$의 관계를 가진다.

• $P$는 $Q$이기 위한 충분조건 (Sufficient Condition)

  $P$만 만족하면, $Q$를 만족하기에 충분하다는 뜻이다.

• $Q$는 $P$이기 위한 필요조건 (Necessary Condition)

  \[P\subset Q\]

  $P$가 성립되기 위해서는, 더 넓은 범위인 $Q$를 반드시 만족해야 한다는 뜻이다.

  $P\rightarrow Q$가 참이면 대우 명제인 $\lnot Q\rightarrow \lnot P$도 항상 참이다.
  이는 “$Q$를 만족하지 않으면 $P$도 만족할 수 없다”는 뜻이므로, $P$가 성립하려면 $Q$라는 조건이 반드시 필요하다는 의미를 보여준다.

• $P$와 $Q$는 서로 필요충분조건

  양방향 $P\rightarrow Q$와 $Q\rightarrow P$가 모두 참일 때, 두 명제는 논리적으로 완전히 동일하다는 뜻이다.

이해하기 쉬운 예시: “정사각형 ($P$)은 직사각형 ($Q$)이다.”

충분조건: 어떤 도형이 정사각형이기만 하면, 직사각형이라고 부르기에 충분하다. 즉, 직사각형이기 위해서는 정사각형이라는 조건만으로도 충분하다.

필요조건: 어떤 도형이 정사각형이 되려면, 일단 기본적으로 직사각형이어야 할 필요가 있다. 즉, 정사각형이 되기 위해서는 직사각형이라는 조건이 필요하다.