[논리학] 논리학 기호

명제 논리 연산자 (Propositional Connectives)

단일 명제들의 진리값을 결합하거나 반전시켜, 새로운 복합 명제를 만드는 연산자이다.

기호	명칭	논리 연산	예시	의미
$\lnot$ $\sim$ $!$	부정 (Negation)	NOT	$\lnot P$	$P$가 거짓일 때 참
$\land$ $\cdot$ $\&$	논리곱 (Conjunction)	AND	$P\land Q$	$P$와 $Q$가 모두 참일 때 참
$\lor$ $+$ $\parallel$	논리합 (Disjunction)	OR	$P\lor Q$	$P$ 또는 $Q$ 중 하나라도 참이면 참
$\oplus$ $\veebar$	배타적 논리합 (Exclusive Disjunction)	XOR	$P\oplus Q$	$P$와 $Q$의 진리값이 서로 다를 때 참
$\to$ $\Rightarrow$	함의 (Implication)	IF-THEN	$P\rightarrow Q$	$P$이면 $Q$이다.
$\leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$	동치 (Equivalence)	IFF	$P\leftrightarrow Q$	$P$와 $Q$의 진리값이 서로 같을 때 참

진리표 (Truth Table)

진리표에서 $1$은 True에, $0$은 False에 대응한다.

Negation

$P$	┃	$\lnot P$
$0$	┃	$1$
$1$	┃	$0$

Conjunction

$P$	$Q$	┃	$P\land Q$
$0$	$0$	┃	$0$
$0$	$1$	┃	$0$
$1$	$0$	┃	$0$
$1$	$1$	┃	$1$

Disjunction

$P$	$Q$	┃	$P\lor Q$
$0$	$0$	┃	$0$
$0$	$1$	┃	$1$
$1$	$0$	┃	$1$
$1$	$1$	┃	$1$

Exclusive Disjunction

$P$	$Q$	┃	$P\oplus Q$
$0$	$0$	┃	$0$
$0$	$1$	┃	$1$
$1$	$0$	┃	$1$
$1$	$1$	┃	$0$

Implication

Implication의 경우, $P$가 참인데 $Q$가 거짓일 때만 전체가 거짓이 된다.

$P$	$Q$	┃	$P\rightarrow Q$
$0$	$0$	┃	$1$
$0$	$1$	┃	$1$
$1$	$0$	┃	$0$
$1$	$1$	┃	$1$

이때 $P\rightarrow Q$는 $\lnot P\lor Q$으로 표현할 수 있다.

예를 들어, “너가 이번 시험에서 100점을 받으면($P$), 내가 치킨을 사주겠다($Q$).”는 약속 ($P \to Q$)을 생각해 보자.

• $P$가 거짓, $Q$가 거짓: 시험에서 100점을 못 받았기 때문에, 치킨을 사주지 않은 상황 (약속 위반이 아님)
• $P$가 거짓, $Q$가 참: 시험에서 100점을 못 받았지만, 그냥 치킨을 사준 상황 (약속 위반은 아님)
• $P$가 참, $Q$가 거짓: : 시험에서 100점을 받았지만, 치킨을 사주지 않은 상황 (약속 위반임)
• $P$가 참, $Q$가 참: 시험에서 100점을 받아서, 치킨을 사준 상황 (약속을 지킴)

Equivalence

$P$	$Q$	┃	$P\leftrightarrow Q$
$0$	$0$	┃	$1$
$0$	$1$	┃	$0$
$1$	$0$	┃	$0$
$1$	$1$	┃	$1$

양화사 (Quantifiers)

술어 논리에서 추가되는 기호들로, 단순한 참/거짓을 넘어 변수에 대한 조건을 명시할 때 사용한다.

‘얼마나 많은 대상에 대해 그 진술이 성립하는가’를 나타내는 논리 기호이다.

기호	명칭	논리 연산	예시	의미
$\forall$	보편 양화사 (Universal Quantifier)	FOR ALL	$\forall x, P(x)$	모든 $x$는 $P$를 만족한다.
$\exists$	존재 양화사 (Existential Quantifier)	EXISTS	$\exists x, P(x)$	$P$를 만족하는 $x$가 적어도 하나는 있다.
$\exists!$	유일 존재 양화사 (Unique Existential Quantifier)	EXISTS EXACTLY ONE	$\exists! x, P(x)$	$P$를 만족하는 $x$는 오직 하나 있다.

메타 논리 기호 (Metalogical Symbols)

논리식 내부의 연산을 뜻하는 것이 아니라, 논리식과 논리식 사이의 관계나 증명 가능성을 설명하기 위해 논리 시스템 밖에서 사용하는 기호이다.

기호	명칭	논리 연산	예시	의미
$\equiv$	논리적 동치 (Logical Equivalence)	EQUIVALENT	$P \equiv Q$	$P$와 $Q$가 모든 상황에서 항상 같은 진리값을 갖는다.
$\models$	논리적 귀결 (Logical Consequence)	ENTAILS	$P \models Q$	$P$가 참인 모든 경우에 $Q$도 반드시 참이다.
$\vdash$	도출 (Provability)	PROVES	$P \vdash Q$	정해진 규칙을 통해 가정 $P$로부터 결론 $Q$를 공식적으로 증명할 수 있다.