[선형대수] 벡터 공간
벡터 공간 (Vector Space)
임의의 집합 $\mathcal{V}$와 스칼라들의 집합 $\mathcal{F}$가 있을 때, 아래 조건을 만족하는 집합 $\mathcal{V}$를 벡터 공간이라고 한다.
- 집합 $\mathcal{V}$는 공집합이 아니다.
- 집합 $\mathcal{V}$에 벡터 덧셈 ($+$)과 스칼라 곱셈 ($\cdot$)의 두 가지 연산이 정의되어 있다.
- 집합 $\mathcal{V}$가 아래 9가지 공리를 만족한다.
이를 만족하는 집합 $\mathcal{V}$의 원소를 벡터라고 한다.
즉, 벡터 공간은 단순히 벡터들의 집합이 아니라 벡터들이 특정 규칙을 만족하는 공간을 의미한다.
벡터 덧셈에 대한 공리
닫힘 (Closure)
임의의 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathcal{V}$에 대해, $\mathbf{u} + \mathbf{v}$는 $\mathcal{V}$에 속한다.
교환 법칙 (Commutativity) 성립
임의의 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathcal{V}$에 대해, $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$가 성립한다.
결합 법칙 (Associativity) 성립
임의의 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathcal{V}$에 대해, $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$가 성립한다.
항등원 (Identity) 존재
V 내에 모든 벡터 $\mathbf{u} \in \mathcal{V}$에 대해 $\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}$를 만족하는 유일한 영벡터 $\mathbf{0}$이 존재한다.
역원 (Inverse) 존재
임의의 벡터 $\mathbf{u} \in \mathcal{V}$에 대해, $\mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0}$를 만족하는 유일한 역벡터 $-\mathbf{u}$가 $\mathcal{V}$ 내에 존재한다.
스칼라 곱셈에 대한 공리
닫힘 (Closure)
임의의 스칼라 $c\in \mathcal{F}$와 벡터 $\mathbf{u} \in \mathcal{V}$에 대해, $c \cdot \mathbf{u}$는 $\mathcal{V}$에 속한다.
분배 법칙 (Distributivity) 성립
임의의 스칼라 $c,d\in \mathcal{F}$와 벡터 $\mathbf{u} \in \mathcal{V}$에 대해, $(c+d) \cdot \mathbf{u} = c \cdot \mathbf{u} + d \cdot \mathbf{u}$가 성립한다.
임의의 스칼라 $c\in \mathcal{F}$와 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathcal{V}$에 대해, $c \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c \cdot \mathbf{u} + c \cdot \mathbf{v}$가 성립한다.
결합 법칙 (Associativity) 성립
임의의 스칼라 $c,d\in \mathcal{F}$와 벡터 $\mathbf{u} \in \mathcal{V}$에 대해, $(cd) \cdot \mathbf{u} = c \cdot (d \cdot \mathbf{u})$가 성립한다.
항등원 (Identity) 존재
스칼라 집합 F의 곱셈 항등원인 1에 대해, 임의의 벡터 $\mathbf{u} \in \mathcal{V}$에 대해 $1 \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u}$가 성립한다.
교환 법칙이 성립하는 군 (Group)을 아벨군 (Abelian Group)이라고 부른다.
벡터 공간에서 벡터 덧셈은 교환 법칙이 성립하기 때문에, 벡터 공간은 벡터 덧셈에 대하여 아벨군을 이룬다.
벡터 부분공간 (Vector Subspace)
벡터공간 $\mathcal{V}$의 부분집합 $\mathcal{U}$가 아래의 조건을 만족하면, $\mathcal{U}$를 $\mathcal{V}$의 부분공간이라고 한다.
$\mathcal{U}$는 영벡터를 포함해야 한다.
\[\mathbf{0}\in \mathcal{U}\]$\mathcal{U}$는 덧셈에 대해 닫혀있어야 한다.
\[\mathbf{u},\mathbf{v}\in \mathcal{U}~\to~\mathbf{u+v}\in \mathcal{U}\]$\mathcal{U}$는 스칼라배에 대해 닫혀있어야 한다.
\[\vphantom{\Big(}\mathbf{u}\in \mathcal{U}~\to~c\cdot\mathbf{u}\in \mathcal{U}\]
1번 조건에 의해 좌표 공간에서의 부분공간은 원점을 포함해야 하기 때문에, 2차원 공간에서는 원점을 통과하는 직선, 3차원 공간에서는 원점을 통과하는 직선 또는 평면으로 나타난다.
Example 1
출처: Deisenroth, Faisal, & Ong, Mathematics for Machine Learning
1. 첫 번째 그림
(2)번, (3)번 조건을 만족하지 못하므로, $\mathbb{R}^2$의 부분공간이 아니다.
예를 들어, 그림에서 축과 만나는 지점의 좌표를 $\pm1$이라고 가정하자.
집합 내에 존재하는 벡터 $\mathbf{u}=(1,0)$와 $\mathbf{v}=(1,1)$에 대해, $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(2,1)$ , $2\mathbf{u}=(2,0)$이 되어 해당 집합을 벗어나게 된다.
2. 두 번째 그림
(1)번, (2)번, (3)번 조건을 만족하지 못하므로, $\mathbb{R}^2$의 부분공간이 아니다.
예를 들어, 그림의 직선의 방정식이 $y=x+1$이라고 가정하자.
집합 내에 존재하는 벡터 $\mathbf{u}=(0,1)$와 $\mathbf{v}=(-1,0)$에 대해, $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(-1,1)$ , $2\mathbf{u}=(0,2)$가 되어 해당 집합을 벗어나게 된다.
3. 세 번째 그림
(2)번 조건을 만족하지 못하므로, $\mathbb{R}^2$의 부분공간이 아니다.
예를 들어, 그림의 두 직선의 방정식이 각각 $y=2x$ , $y=\frac{1}{2}x$라고 가정하자.
집합 내에 존재하는 벡터 $\mathbf{u}=(4,2)$와 $\mathbf{v}=(-2,-4)$에 대해, $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(2,-2)$가 되어 해당 집합을 벗어나게 된다.
4. 네 번째 그림
모든 조건을 다 만족하므로, $\mathbb{R}^2$의 부분공간이다.
아핀 공간 (Affine Space)
벡터 공간을 평행 이동한 공간을 아핀 공간이라고 부른다.
원점에서 offset된 공간으로, $\mathbf0$을 포함하지 않아 벡터 공간은 아니다.
