벡터 공간
벡터 공간 (Vector Space)
임의의 집합 $\mathcal{V}$와 스칼라들의 집합 $\mathcal{F}$가 있을 때, 아래 조건을 만족하는 집합 $\mathcal{V}$를 벡터 공간이라고 한다.
- 집합 $\mathcal{V}$는 공집합이 아니다.
- 집합 $\mathcal{V}$에 벡터 덧셈 ($+$)과 스칼라 곱셈 ($\cdot$)의 두 가지 연산이 정의되어 있다.
- 집합 $\mathcal{V}$가 아래 9가지 공리를 만족한다.
이를 만족하는 집합 $\mathcal{V}$의 원소를 벡터라고 한다.
즉, 벡터 공간은 단순히 벡터들의 집합이 아니라 벡터들이 특정 규칙을 만족하는 공간을 의미한다.
벡터 덧셈에 대한 공리
닫힘 (Closure)
임의의 벡터 $\vu, \vv \in \mathcal{V}$에 대해, $\vu + \vv$는 $\mathcal{V}$에 속한다.
교환 법칙 (Commutativity) 성립
임의의 벡터 $\vu, \vv \in \mathcal{V}$에 대해, $\vu + \vv = \vv + \vu$가 성립한다.
결합 법칙 (Associativity) 성립
임의의 벡터 $\vu, \vv, \vw \in \mathcal{V}$에 대해, $(\vu + \vv) + \vw = \vu + (\vv + \vw)$가 성립한다.
항등원 (Identity) 존재
V 내에 모든 벡터 $\vu \in \mathcal{V}$에 대해 $\vu + \vzero = \vu$를 만족하는 유일한 영벡터 $\vzero$이 존재한다.
역원 (Inverse) 존재
임의의 벡터 $\vu \in \mathcal{V}$에 대해, $\vu + (-\vu) = \vzero$를 만족하는 유일한 역벡터 $-\vu$가 $\mathcal{V}$ 내에 존재한다.
스칼라 곱셈에 대한 공리
닫힘 (Closure)
임의의 스칼라 $c\in \mathcal{F}$와 벡터 $\vu \in \mathcal{V}$에 대해, $c \cdot \vu$는 $\mathcal{V}$에 속한다.
분배 법칙 (Distributivity) 성립
임의의 스칼라 $c,d\in \mathcal{F}$와 벡터 $\vu \in \mathcal{V}$에 대해, $(c+d) \cdot \vu = c \cdot \vu + d \cdot \vu$가 성립한다.
임의의 스칼라 $c\in \mathcal{F}$와 벡터 $\vu, \vv \in \mathcal{V}$에 대해, $c \cdot (\vu + \vv) = c \cdot \vu + c \cdot \vv$가 성립한다.
결합 법칙 (Associativity) 성립
임의의 스칼라 $c,d\in \mathcal{F}$와 벡터 $\vu \in \mathcal{V}$에 대해, $(cd) \cdot \vu = c \cdot (d \cdot \vu)$가 성립한다.
항등원 (Identity) 존재
스칼라 집합 F의 곱셈 항등원인 1에 대해, 임의의 벡터 $\vu \in \mathcal{V}$에 대해 $1 \cdot \vu = \vu$가 성립한다.
교환 법칙이 성립하는 군 (Group)을 아벨군 (Abelian Group)이라고 부른다.
벡터 공간에서 벡터 덧셈은 교환 법칙이 성립하기 때문에, 벡터 공간은 벡터 덧셈에 대하여 아벨군을 이룬다.
벡터 부분공간 (Vector Subspace)
벡터공간 $\mathcal{V}$의 부분집합 $\mathcal{U}$가 아래의 조건을 만족하면, $\mathcal{U}$를 $\mathcal{V}$의 부분공간이라고 한다.
$\mathcal{U}$는 영벡터를 포함해야 한다.
\[\vzero\in \mathcal{U}\]$\mathcal{U}$는 덧셈에 대해 닫혀있어야 한다.
\[\vu,\vv\in \mathcal{U}~\to~\mathbf{u+v}\in \mathcal{U}\]$\mathcal{U}$는 스칼라배에 대해 닫혀있어야 한다.
\[\vu\in \mathcal{U}~\to~c\cdot\vu\in \mathcal{U}\]
1번 조건에 의해 좌표 공간에서의 부분공간은 원점을 포함해야 하기 때문에, 2차원 공간에서는 원점을 통과하는 직선, 3차원 공간에서는 원점을 통과하는 직선 또는 평면으로 나타난다.
Example 1
출처: Deisenroth, Faisal, & Ong, Mathematics for Machine Learning
1. 첫 번째 그림
(2)번, (3)번 조건을 만족하지 못하므로, $\mathbb{R}^2$의 부분공간이 아니다.
예를 들어, 그림에서 축과 만나는 지점의 좌표를 $\pm1$이라고 가정하자.
집합 내에 존재하는 벡터 $\vu=(1,0)$와 $\vv=(1,1)$에 대해, $\vu+\vv=(2,1)$ , $2\vu=(2,0)$이 되어 해당 집합을 벗어나게 된다.
2. 두 번째 그림
(1)번, (2)번, (3)번 조건을 만족하지 못하므로, $\mathbb{R}^2$의 부분공간이 아니다.
예를 들어, 그림의 직선의 방정식이 $y=x+1$이라고 가정하자.
집합 내에 존재하는 벡터 $\vu=(0,1)$와 $\vv=(-1,0)$에 대해, $\vu+\vv=(-1,1)$ , $2\vu=(0,2)$가 되어 해당 집합을 벗어나게 된다.
3. 세 번째 그림
(2)번 조건을 만족하지 못하므로, $\mathbb{R}^2$의 부분공간이 아니다.
예를 들어, 그림의 두 직선의 방정식이 각각 $y=2x$ , $y=\frac{1}{2}x$라고 가정하자.
집합 내에 존재하는 벡터 $\vu=(4,2)$와 $\vv=(-2,-4)$에 대해, $\vu+\vv=(2,-2)$가 되어 해당 집합을 벗어나게 된다.
4. 네 번째 그림
모든 조건을 다 만족하므로, $\mathbb{R}^2$의 부분공간이다.
아핀 공간 (Affine Space)
벡터 공간을 평행 이동한 공간을 아핀 공간이라고 부른다.
원점에서 offset된 공간으로, $\mathbf0$을 포함하지 않아 벡터 공간은 아니다.
