[선형대수] 벡터의 기본 개념과 연산

물리적 벡터

크기와 방향을 모두 가진 양을 벡터라고 부르며, 크기만 가진 양을 스칼라라고 부른다.

• 위치벡터: 공간에서 점의 위치를 나타내는 벡터로, 원점을 시점으로 한다.
• 방향벡터: 직선이나 움직임의 방향을 나타내는 벡터로, 크기는 신경 쓰지 않는다.

수학적 벡터

벡터 공간의 원소를 벡터라고 부른다.

벡터는 열 벡터 (column vector) 또는 행 벡터 (row vector)로 표현할 수 있으며, 선형대수학에서는 일반적으로 열 벡터를 표준 표현으로 사용한다.

\[\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}\] \[\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\]

여러 벡터를 나란히 배치하면 행렬을 만들 수 있다. 즉, 행렬은 벡터들을 열 단위로 모아 놓은 것으로도 볼 수 있다.

\[\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}~,~ \begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&4\\2&5\\3&6 \end{bmatrix}\]

벡터의 기본 연산

벡터의 덧셈

벡터의 덧셈은 같은 위치의 성분끼리 더하면 된다.

\[\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}5\\7\\9\end{bmatrix}\]

두 벡터를 화살표로 생각했을 때, $\mathbf{u}+\mathbf{v}$는 $\mathbf{u}$의 끝점에서 $\mathbf{v}$를 이어 붙인 화살표로 생각할 수 있다.

스칼라배

스칼라배는 벡터의 각 성분을 같은 스칼라로 곱하면 된다.

\[3\cdot \begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3\\6\\9\end{bmatrix}\]

벡터를 화살표로 생각했을 때, 방향은 유지되고 크기만 스칼라 배율만큼 늘어나거나 줄어든다.