[선형대수] 선형 사상과 차원 정리

선형 사상 (Linear Mappings)

아래의 조건을 만족시키는 사상 $\Phi : V\to W$를 선형 사상이라고 부른다.

1. $\Phi(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\Phi(\mathbf{x})+\Phi(\mathbf{y})$
2. $\Phi (\lambda \mathbf{x})=\lambda \Phi (\mathbf{x})$

사상은 함수라고도 하며, $V$를 정의역, $W$를 치역이라고 생각하면 된다.

사상의 성질

단사 (Injective)

선형 사상 $\Phi$가 단사라는 것은 정의역의 서로 다른 두 원소가 공역의 서로 다른 두 원소에 대응한다는 것을 의미한다. 일대일이라고도 불린다.

\[\Phi (\mathbf{x})=\Phi (\mathbf{y})\implies\mathbf{x}=\mathbf{y} \tag{1}\]

즉, 출력이 같으면 입력값도 같아야하며, 이는 입력값이 다르면 출력값도 다르다는 것을 의미한다.

입력에 대응되지 않는 출력도 존재한다.

전사 (Surjective)

선형 사상 $\Phi$가 전사라는 것은 공역의 모든 원소가 적어도 하나의 정의역 원소와 대응한다는 것을 의미한다.

\[\Phi (V)=W \tag{2}\]

즉, 공역과 치역이 동일하다.

하나의 출력에 여러 입력이 대응될 수 있다.

전단사 (Bijective)

일대일 대응이라고도 불리며, 단사이면서 동시에 전사인 경우를 의미한다.

모든 입력이 서로 다른 출력에 정확히 하나씩 대응되며, 공역에 남는 원소가 없다.
이 때문에 역함수 (Inverse Mapping)가 존재한다.

\[\Phi^{-1}=\Psi:W\to V \tag{3}\]

선형 변환 관점에서 역행렬이 존재하는 경우가 전단사 변환이다.

사상의 특별한 경우

[출처]

동형 사상 (Isomorphism)

두 공간이 본질적으로 같다는 것을 증명하는 사상이다.

자기 사상 (Endomorphism)

정의역과 공역이 자기 자신으로 같은 경우이다.

자기 동형 사상 (Automorphism)

한 공간에서 자기 자신으로 가는 동형 사상이다.

상과 핵 (Image & Kernel)

Image

선형 사상 $\Phi : V → W$ 에 의해 $V$의 모든 벡터가 매핑되는 $W$의 벡터들의 집합을 의미한다.

\[\text{Im}(\Phi)=\Phi(V)= \lbrace w\in W\mid\exists v\in V:\Phi(v)=w \rbrace \tag{4}\]

즉, Image는 선형 변환의 출력 공간을 의미한다.

Kernel

선형 사상 $\Phi : V → W$ 에 대해, $\Phi$에 의해 $\mathbf{0}_W$로 보내지는 $V$의 벡터들의 집합을 Kernel이라고 한다.

\[\text{ker}(\Phi)=\Phi^{-1}(\mathbf{0}_W)= \lbrace \mathbf{v}\in V\mid\Phi(\mathbf{v})=\mathbf{0}_W \rbrace \tag{5}\]

즉, Kernel은 선형 변환의 Null Space를 의미한다.

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$m\times n$ 크기의 행렬 $A\in \Bbb R^{m\times n}$는 $A:\Bbb R^n→\Bbb R^m$ 형태의 선형 사상 $\Phi$를 정의한다.

즉, 선형 사상 $\Phi:\Bbb R^n→\Bbb R^m$를 고정된 기저에 대해 표현하면 행렬 $A$가 된다.

이때 아래의 2가지 성질이 성립한다.

• 행렬 $A$의 Rank는 Image의 차원과 동일하다.

  \[\text{rank}(A)=\text{dim}(\text{Im}(\Phi)) \tag{6}\]

  이는 Image가 $A$의 Column space이기 때문이다.

• 행렬 $A$의 Nullity는 Kernel의 차원과 동일하다.

  \[\text{nullity}(A)=\text{dim}(\text{ker}(\Phi)) \tag{7}\]

  이는 Kernel이 $A$의 Null space이기 때문이다.

차원 정리 (Rank-Nullity Theorem)

선형 사상 $\Phi : V → W$를 정의하는 행렬 $A\in \Bbb R^{m\times n}$가 있을 때, 아래의 수식이 성립한다.

\[\text{dim}(V)=\text{rank}(A)+\text{nullity}(A) \tag{8}\] \[n=\text{rank}(A)+\text{nullity}(A) \tag{9}\]

여기서 $n$은 입력 공간의 차원으로, 변환 후의 차원 (Rank)과 원점으로 사라진 차원 (Nullity)을 더하면 원래의 전체 차원 $n$이 된다는 것을 보여준다.

[출처]