[선형대수] 크래머의 법칙 (Cramer's rule)

크래머의 법칙은 연립 선형 방정식을 행렬식으로 푸는 방법이다.

크래머의 법칙은 $A$가 가역 행렬일 때만 적용이 가능하다.

\[\begin{cases} a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_n \end{cases} ~~~\to~ A\mathbf{x}=\mathbf{b}\]

위의 연립 선형 방정식에서 각 변수 $x_i$는 아래와 같이 계산할 수 있다는 것의 크래머의 법칙이다.

\[x_i=\frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)} \tag{1}\]

이때 $A_i$는 행렬 $A$의 $i$번째 열을 $\mathbf{b}$로 바꾼 행렬이다.

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{cases}\]

예를 들어, 위의 $2\times2$ 행렬에 대한 연립 선형 방정식에서 각 변수를 아래와 같이 계산할 수 있다.

\[x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}} ~~,~~ x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\]

크래머의 법칙은 해를 명시적인 공식으로 표현해준다는 장점이 있지만, 행렬식을 여러 번 계산해야 해서 계산 복잡도가 매우 높다.

Example: 크래머의 법칙으로 연립 방정식 풀기

\[\begin{cases}2x_1+3x_2=8\\x_1-x_2=1\end{cases}\]

$x_1$와 $x_2$를 아래와 같이 계산할 수 있다.

\[x_1=\frac{\text{det}(A_1)}{\text{det}(A)}=\frac{\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=\frac{\begin{vmatrix}8&3\\1&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&3\\1&-1\end{vmatrix}}=\frac{-11}{-5}=2.2\] \[x_2=\frac{\text{det}(A_1)}{\text{det}(A)}=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=\frac{\begin{vmatrix}2&3\\1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&3\\1&-1\end{vmatrix}}=\frac{-6}{-5}=1.2\]

행렬식과 해의 유일성의 관계

크래머의 법칙에서 $\text{det}(A)=0$의 의미는 뭘까?

예를 들어, $2\times2$ 행렬에서 $\text{det}(A)=0$ 식은 아래와 같이 비례식으로 표현할 수 있다.

\[\text{det}(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0 ~~\to~~a_{11}:a_{12}=a_{21}:a_{22}\]

이는 두 방정식의 $x_1$과 $x_2$에 대한 계수의 비가 동일하다는 것을 의미한다.
즉, 두 직선이 서로 평행하거나 완전히 일치한다는 뜻이다.

따라서 상수항의 비가 다르다면 $(b_1\neq b_2)$ 해가 존재하지 않고, 상수항의 비까지 같다면 무수히 많은 해를 가진다.