[확률] 확률 변수 (Random Variable)

확률 변수 (Random Variable)

확률 변수란 표본 공간의 각 사건을 실수로 매핑하는 함수이다.

\[X:\Omega\to\mathbb{R} \tag{1}\]

확률 변수를 통해 확률 개념을 숫자로 변환하여 수학적으로 분석할 수 있게 된다.

확률 변수는 함수의 역할을 하지만, 하나의 값처럼 취급되기 때문에 변수라고 명명하였다.

일반적으로 아래와 같이 확률 변수는 대문자로, 확률 변수가 가질 수 있는 구체적인 값은 소문자로 표기한다.

\[p_X(x)=P(X=x) \tag{2}\]

위 표기는 확률 변수 $X$가 실수값 $x$를 가질 확률을 의미한다.

확률 변수 예시

• 주사위를 던지는 상황

  주사위를 던졌을 때 나올 수 있는 수를 표본 공간으로 정의하면, 표본 공간 $\Omega$는 다음과 같다.

  \[\Omega=\lbrace1,2,3,4,5,6\rbrace\]

  ‘주사위의 눈’을 확률 변수 $X$로 설정하면 아래와 같이 표현할 수 있다.

  \[X(1)=1~,~X(2)=2~,~X(3)=3~,~X(4)=4~,~X(5)=5~,~X(6)=6\]

  주사위 눈이 6이 나올 확률을 아래와 같이 표현할 수 있다.

  \[P(X=6)=\frac{1}{6}\]

• 동전 2개를 던지는 상황

  동전 2개를 던졌을 때 나올 수 있는 경우를 표본 공간으로 정의하면, 표본 공간 $\Omega$는 다음과 같다.

  \[\Omega=\lbrace\text{HH,~HT,~TH,~TT}\rbrace\]

  앞면의 개수를 확률 변수 $X$로 설정하면 아래와 같이 표현할 수 있다.

  \[X(\text{HH})=2~,~X(\text{HT})=1~,~X(\text{TH})=1~,~X(\text{TT})=0\]

  이때 앞면이 두 번 나올 확률을 아래와 같이 표현할 수 있다.

  \[P(X=2)=\frac{1}{4}\]

확률 변수의 함수 (Function of Random Variable)

확률 변수의 함수는 확률 변수 $X$에 함수 $g$를 적용하여 만든 새로운 확률 변수를 의미한다.

\[Y=g(X) \tag{3}\]

예를 들어, 아래와 같은 경우가 있다.

\[Y=g(X)=X^2~,~Y=g(X)=4X\]

다변량 확률 변수 (Multivariate Random Variable)

다변량 확률 변수는 여러 개의 확률 변수를 모아서 하나의 확률 벡터로 보는 것을 의미한다.

\[\mathbf X= \begin{bmatrix} X_1\\X_2\\\vdots\\X_D \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^D \tag{4}\]