[확률] 확률 공간과 확률의 기본 규칙

확률 공간 (Probability Space)

표본 공간 (Sample space)

표본 공간은 확률 실험에서 나올 수 있는 모든 가능한 결과들의 집합을 의미한다.

예를 들어, 주사위 던지기의 표본 공간은 나올 수 있는 모든 눈이 된다.

\[\Omega=\lbrace1,2,3,4,5,6\rbrace\]

사건 (Event)

사건은 표본 공간의 부분집합으로, 실험 결과가 만족해야할 조건을 의미한다.

예를 들어, 주사위 던지기에서 짝수가 나올 사건 $A$는 아래와 같이 표현된다.

\[A=\lbrace2,4,6\rbrace\subset\Omega\]

[출처]

확률 함수

확률 함수 $P(\cdot)$는 해당 사건에 대해 그 확률을 할당하는 함수이다.

예를 들어, 주사위 던지기에서 짝수가 나올 사건을 $A$라고 할 때, $A$에 대한 확률은 아래와 같이 표현된다.

\[P(A)=\frac{1}{2}\]

확률의 기본 규칙

곱의 법칙 (Product Rule)

결합 확률 분포는 주변 분포와 조건부 분포의 곱으로 나타낼 수 있다.

\[P(A,B)=p(A\mid B)P(B)=P(B\mid A)P(A) \tag{1}\]

전체 확률의 법칙 (Law of Total Probability)

어떤 사건 $A$가 다른 사건 $B_i$들을 통해 일어날 수 있을 때, $A$가 발생할 전체 확률은 가능한 모든 경우의 확률을 더해서 구할 수 있다.

\[P(A)=\sum_{i=1}^n P(A,B_i)=\sum_{i=1}^NP(A\mid B_i)P(B_i) \tag{2}\]

이때 $P(A,B_i)$는 서로 배반인 사건이다.

[출처]